conversations listlengths 2 2 | source stringclasses 8
values |
|---|---|
[
{
"from": "human",
"value": "ក. ដោយប្រើរូបមន្តដឺម័រ សរសេរ $\\cos 3\\alpha$ និង $\\sin 3\\alpha$ ជាអនុគមន៍នៃ $\\cos\\alpha$ និង $\\sin\\alpha$ ។\nខ. គេឱ្យ $\\cos\\alpha=\\frac{3}{5}$ ដែល $-\\frac{\\pi}{2}<\\alpha<0$ ។ គណនា $\\cos 3\\alpha$ និង $\\sin 3\\alpha$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. ដោយប្រើរូបមន្តដឺម័រ សរសេរ $\\cos 3\\alpha$ និង $\\sin 3\\alpha$ ជាអនុគមន៍នៃ $\\cos\\alpha$ និង $\\sin\\alpha$ ។\nខ. គេឱ្យ $\\cos\\alpha=\\frac{20}{29}$ ដែល $-\\frac{\\pi}{2}<\\alpha<0$ ។ គណនា $\\cos 3\\alpha$ និង $\\sin 3\\alpha$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. ដោយប្រើរូបមន្តដឺម័រ សរសេរ $\\cos 4\\alpha$ និង $\\sin 4\\alpha$ ជាអនុគមន៍នៃ $\\cos\\alpha$ និង $\\sin\\alpha$ ។\nខ. គេឱ្យ $\\cos\\alpha=\\frac{5}{13}$ ដែល $0<\\alpha<\\frac{\\pi}{2}$ ។ គណនា $\\cos 4\\alpha$ និង $\\sin 4\\alpha$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. ដោយប្រើរូបមន្តដឺម័រ សរសេរ $\\cos 4\\alpha$ និង $\\sin 4\\alpha$ ជាអនុគមន៍នៃ $\\cos\\alpha$ និង $\\sin\\alpha$ ។\nខ. គេឱ្យ $\\sin\\alpha=-\\frac{5}{13}$ ដែល $-\\frac{\\pi}{2}<\\alpha<0$ ។ គណនា $\\cos 4\\alpha$ និង $\\sin 4\\alpha$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. ដោយប្រើរូបមន្តដឺម័រ សរសេរ $\\cos 3\\alpha$ និង $\\sin 3\\alpha$ ជាអនុគមន៍នៃ $\\cos\\alpha$ និង $\\sin\\alpha$ ។\nខ. គេឱ្យ $\\cos\\alpha=-\\frac{24}{25}$ ដែល $\\frac{\\pi}{2}<\\alpha<\\pi$ ។ គណនា $\\cos 3\\alpha$ និង $\\sin 3\\alpha$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value":... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. ដោយប្រើរូបមន្តដឺម័រ សរសេរ $\\cos 3\\alpha$ និង $\\sin 3\\alpha$ ជាអនុគមន៍នៃ $\\cos\\alpha$ និង $\\sin\\alpha$ ។\nខ. គេឱ្យ $\\cos\\alpha=-\\frac{12}{13}$ ដែល $\\frac{\\pi}{2}<\\alpha<\\pi$ ។ គណនា $\\cos 3\\alpha$ និង $\\sin 3\\alpha$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value":... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. ដោយប្រើរូបមន្តដឺម័រ សរសេរ $\\cos 3\\alpha$ និង $\\sin 3\\alpha$ ជាអនុគមន៍នៃ $\\cos\\alpha$ និង $\\sin\\alpha$ ។\nខ. គេឱ្យ $\\sin\\alpha=-\\frac{21}{29}$ ដែល $-\\frac{\\pi}{2}<\\alpha<0$ ។ គណនា $\\cos 3\\alpha$ និង $\\sin 3\\alpha$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. ដោយប្រើរូបមន្តដឺម័រ សរសេរ $\\cos 3\\alpha$ និង $\\sin 3\\alpha$ ជាអនុគមន៍នៃ $\\cos\\alpha$ និង $\\sin\\alpha$ ។\nខ. គេឱ្យ $\\cos\\alpha=\\frac{3}{5}$ ដែល $0<\\alpha<\\frac{\\pi}{2}$ ។ គណនា $\\cos 3\\alpha$ និង $\\sin 3\\alpha$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. ត... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z=\\cos\\theta+i\\sin\\theta$ ។ បង្ហាញថា $z^{n}+\\frac{1}{z^{n}}=2\\cos n\\theta$ និង $z^{n}-\\frac{1}{z^{n}}=2i\\sin n\\theta$ ។ រួចសរសេរ $\\sin^{5}\\theta$ ជាផលបូកនៃស៊ីនុស ឬកូស៊ីនុសនៃពហុគុណនៃ $\\theta$ ។ ទាញរកតម្លៃនៃ $\\sin^{5}\\frac{5\\pi}{12}$ ។"
},
{
"from": "g... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z=\\cos\\theta+i\\sin\\theta$ ។ បង្ហាញថា $z^{n}+\\frac{1}{z^{n}}=2\\cos n\\theta$ និង $z^{n}-\\frac{1}{z^{n}}=2i\\sin n\\theta$ ។ រួចសរសេរ $\\cos^{5}\\theta$ ជាផលបូកនៃស៊ីនុស ឬកូស៊ីនុសនៃពហុគុណនៃ $\\theta$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តដឺម័រ $z^{n}=\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z=\\cos\\theta+i\\sin\\theta$ ។ បង្ហាញថា $z^{n}+\\frac{1}{z^{n}}=2\\cos n\\theta$ និង $z^{n}-\\frac{1}{z^{n}}=2i\\sin n\\theta$ ។ រួចសរសេរ $\\cos^{4}\\theta$ ជាផលបូកនៃស៊ីនុស ឬកូស៊ីនុសនៃពហុគុណនៃ $\\theta$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តដឺម័រ $z^{n}=\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z=\\cos\\theta+i\\sin\\theta$ ។ បង្ហាញថា $z^{n}+\\frac{1}{z^{n}}=2\\cos n\\theta$ និង $z^{n}-\\frac{1}{z^{n}}=2i\\sin n\\theta$ ។ រួចសរសេរ $\\cos^{5}\\theta$ ជាផលបូកនៃស៊ីនុស ឬកូស៊ីនុសនៃពហុគុណនៃ $\\theta$ ។ ទាញរកតម្លៃនៃ $\\cos^{5}\\frac{\\pi}{12}$ ។"
},
{
"from": "gp... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z=\\cos\\theta+i\\sin\\theta$ ។ បង្ហាញថា $z^{n}+\\frac{1}{z^{n}}=2\\cos n\\theta$ និង $z^{n}-\\frac{1}{z^{n}}=2i\\sin n\\theta$ ។ រួចសរសេរ $\\cos^{2}\\theta$ ជាផលបូកនៃស៊ីនុស ឬកូស៊ីនុសនៃពហុគុណនៃ $\\theta$ ។ ទាញរកតម្លៃនៃ $\\cos^{2}\\frac{\\pi}{4}$ ។"
},
{
"from": "gpt... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z=\\cos\\theta+i\\sin\\theta$ ។ បង្ហាញថា $z^{n}+\\frac{1}{z^{n}}=2\\cos n\\theta$ និង $z^{n}-\\frac{1}{z^{n}}=2i\\sin n\\theta$ ។ រួចសរសេរ $\\cos^{2}\\theta$ ជាផលបូកនៃស៊ីនុស ឬកូស៊ីនុសនៃពហុគុណនៃ $\\theta$ ។ ទាញរកតម្លៃនៃ $\\cos^{2}\\frac{\\pi}{12}$ ។"
},
{
"from": "gp... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z=\\cos\\theta+i\\sin\\theta$ ។ បង្ហាញថា $z^{n}+\\frac{1}{z^{n}}=2\\cos n\\theta$ និង $z^{n}-\\frac{1}{z^{n}}=2i\\sin n\\theta$ ។ រួចសរសេរ $\\sin^{3}\\theta$ ជាផលបូកនៃស៊ីនុស ឬកូស៊ីនុសនៃពហុគុណនៃ $\\theta$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តដឺម័រ $z^{n}=\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z=\\cos\\theta+i\\sin\\theta$ ។ បង្ហាញថា $z^{n}+\\frac{1}{z^{n}}=2\\cos n\\theta$ និង $z^{n}-\\frac{1}{z^{n}}=2i\\sin n\\theta$ ។ រួចសរសេរ $\\sin^{3}\\theta$ ជាផលបូកនៃស៊ីនុស ឬកូស៊ីនុសនៃពហុគុណនៃ $\\theta$ ។ ទាញរកតម្លៃនៃ $\\sin^{3}\\frac{\\pi}{12}$ ។"
},
{
"from": "gp... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z=\\cos\\theta+i\\sin\\theta$ ។ បង្ហាញថា $z^{n}+\\frac{1}{z^{n}}=2\\cos n\\theta$ និង $z^{n}-\\frac{1}{z^{n}}=2i\\sin n\\theta$ ។ រួចសរសេរ $\\sin^{3}\\theta$ ជាផលបូកនៃស៊ីនុស ឬកូស៊ីនុសនៃពហុគុណនៃ $\\theta$ ។ ទាញរកតម្លៃនៃ $\\sin^{3}\\frac{5\\pi}{12}$ ។"
},
{
"from": "g... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z=\\cos\\theta+i\\sin\\theta$ ។ បង្ហាញថា $z^{n}+\\frac{1}{z^{n}}=2\\cos n\\theta$ និង $z^{n}-\\frac{1}{z^{n}}=2i\\sin n\\theta$ ។ រួចសរសេរ $\\sin^{2}\\theta$ ជាផលបូកនៃស៊ីនុស ឬកូស៊ីនុសនៃពហុគុណនៃ $\\theta$ ។ ទាញរកតម្លៃនៃ $\\sin^{2}\\frac{\\pi}{4}$ ។"
},
{
"from": "gpt... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z=\\cos\\theta+i\\sin\\theta$ ។ បង្ហាញថា $z^{n}+\\frac{1}{z^{n}}=2\\cos n\\theta$ និង $z^{n}-\\frac{1}{z^{n}}=2i\\sin n\\theta$ ។ រួចសរសេរ $\\cos^{3}\\theta$ ជាផលបូកនៃស៊ីនុស ឬកូស៊ីនុសនៃពហុគុណនៃ $\\theta$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តដឺម័រ $z^{n}=\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z=\\cos\\theta+i\\sin\\theta$ ។ បង្ហាញថា $z^{n}+\\frac{1}{z^{n}}=2\\cos n\\theta$ និង $z^{n}-\\frac{1}{z^{n}}=2i\\sin n\\theta$ ។ រួចសរសេរ $\\sin^{4}\\theta$ ជាផលបូកនៃស៊ីនុស ឬកូស៊ីនុសនៃពហុគុណនៃ $\\theta$ ។ ទាញរកតម្លៃនៃ $\\sin^{4}\\frac{\\pi}{4}$ ។"
},
{
"from": "gpt... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z=\\cos\\theta+i\\sin\\theta$ ។ បង្ហាញថា $z^{n}+\\frac{1}{z^{n}}=2\\cos n\\theta$ និង $z^{n}-\\frac{1}{z^{n}}=2i\\sin n\\theta$ ។ រួចសរសេរ $\\cos^{2}\\theta$ ជាផលបូកនៃស៊ីនុស ឬកូស៊ីនុសនៃពហុគុណនៃ $\\theta$ ។ ទាញរកតម្លៃនៃ $\\cos^{2}\\frac{5\\pi}{12}$ ។"
},
{
"from": "g... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z=\\cos\\theta+i\\sin\\theta$ ។ បង្ហាញថា $z^{n}+\\frac{1}{z^{n}}=2\\cos n\\theta$ និង $z^{n}-\\frac{1}{z^{n}}=2i\\sin n\\theta$ ។ រួចសរសេរ $\\sin^{4}\\theta$ ជាផលបូកនៃស៊ីនុស ឬកូស៊ីនុសនៃពហុគុណនៃ $\\theta$ ។ ទាញរកតម្លៃនៃ $\\sin^{4}\\frac{\\pi}{12}$ ។"
},
{
"from": "gp... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយសរសេរ $2\\sqrt{3}-2i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ដោះស្រាយសមីការ $2\\sqrt{3}\\cos x-2\\sin x=4$ ក្នុងសំណុំចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=2\\sqrt{3}-2i$ ៖\n$$|z|=r=\\sqrt{\\left(2\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-2\\right)^{2}}=\\sqrt{12+4}=\\sqrt{16}=4$$\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយសរសេរ $-2-2i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ដោះស្រាយសមីការ $-2\\cos x-2\\sin x=2\\sqrt{2}$ ក្នុងសំណុំចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=-2-2i$ ៖\n$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+\\left(-2\\right)^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nតាង $\\alpha$ ជ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយសរសេរ $4-4i\\sqrt{3}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ដោះស្រាយសមីការ $4\\cos x-4\\sqrt{3}\\sin x=-8$ ក្នុងសំណុំចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=4-4i\\sqrt{3}$ ៖\n$$|z|=r=\\sqrt{4^{2}+\\left(-4\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{16+48}=\\sqrt{64}=8$$\nតាង $\\alpha... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. សរសេរចំនួនកុំផ្លិច $z=-2-2i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញបង្ហាញថា $-2\\cos x-2\\sin x=2\\sqrt{2}\\cos\\left(x+\\frac{3\\pi}{4}\\right)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $-2\\cos x-2\\sin x=-2\\sqrt{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=-2-2i$ ៖\n$$|z|=r=\\sqrt{\\lef... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. សរសេរចំនួនកុំផ្លិច $z=-2-2i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញបង្ហាញថា $-2\\cos x-2\\sin x=2\\sqrt{2}\\cos\\left(x+\\frac{3\\pi}{4}\\right)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $-2\\cos x-2\\sin x=-2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=-2-2i$ ៖\nតាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយសរសេរ $\\sqrt{3}+i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ដោះស្រាយសមីការ $\\sqrt{3}\\cos x+\\sin x=-\\sqrt{3}$ ក្នុងសំណុំចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=\\sqrt{3}+i$ ៖\n$$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}+1^{2}}=\\sqrt{3+1}=\\sqrt{4}=2$$\nតាង $\\alpha$ ជ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. សរសេរចំនួនកុំផ្លិច $z=-\\sqrt{2}-i\\sqrt{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញបង្ហាញថា $-\\sqrt{2}\\cos x-\\sqrt{2}\\sin x=2\\cos\\left(x+\\frac{3\\pi}{4}\\right)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $-\\sqrt{2}\\cos x-\\sqrt{2}\\sin x=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយសរសេរ $-2\\sqrt{3}-2i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ដោះស្រាយសមីការ $-2\\sqrt{3}\\cos x-2\\sin x=-2$ ក្នុងសំណុំចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=-2\\sqrt{3}-2i$ ៖\n$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-2\\right)^{2}}=\\sqrt{12+4}=\\sqrt{16}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. សរសេរចំនួនកុំផ្លិច $z=3-3i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញបង្ហាញថា $3\\cos x-3\\sin x=3\\sqrt{2}\\cos\\left(x+\\frac{\\pi}{4}\\right)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $3\\cos x-3\\sin x=-3$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=3-3i$ ៖\nម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{3^{2}+\\le... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយសរសេរ $2+2i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ដោះស្រាយសមីការ $2\\cos x+2\\sin x=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=2+2i$ ៖\n$$|z|=r=\\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. សរសេរចំនួនកុំផ្លិច $z=2-2i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញបង្ហាញថា $2\\cos x-2\\sin x=2\\sqrt{2}\\cos\\left(x+\\frac{\\pi}{4}\\right)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $2\\cos x-2\\sin x=2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=2-2i$ ៖\nម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{2^{2}+\\lef... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. សរសេរចំនួនកុំផ្លិច $z=2-2i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញបង្ហាញថា $2\\cos x-2\\sin x=2\\sqrt{2}\\cos\\left(x+\\frac{\\pi}{4}\\right)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $2\\cos x-2\\sin x=-\\sqrt{6}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=2-2i$ ៖\nម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{2^... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. សរសេរចំនួនកុំផ្លិច $z=2\\sqrt{3}-2i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញបង្ហាញថា $2\\sqrt{3}\\cos x-2\\sin x=4\\cos\\left(x+\\frac{\\pi}{6}\\right)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $2\\sqrt{3}\\cos x-2\\sin x=-2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=2\\sqrt{3}-2i$ ៖\n$$|z|=r... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយសរសេរ $1-i\\sqrt{3}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ដោះស្រាយសមីការ $\\cos x-\\sqrt{3}\\sin x=1$ ក្នុងសំណុំចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=1-i\\sqrt{3}$ ៖\n$$|z|=r=\\sqrt{1^{2}+\\left(-\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{1+3}=\\sqrt{4}=2$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយសរសេរ $-3\\sqrt{3}-3i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ដោះស្រាយសមីការ $-3\\sqrt{3}\\cos x-3\\sin x=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=-3\\sqrt{3}-3i$ ៖\n$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-3\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-3\\right)^{2}}=\\sqrt{27+9}=\\sqrt{36}=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយសរសេរ $\\sqrt{2}+i\\sqrt{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ដោះស្រាយសមីការ $\\sqrt{2}\\cos x+\\sqrt{2}\\sin x=-1$ ក្នុងសំណុំចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=\\sqrt{2}+i\\sqrt{2}$ ៖\nតាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\sqr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយសរសេរ $-3+3i\\sqrt{3}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ដោះស្រាយសមីការ $-3\\cos x+3\\sqrt{3}\\sin x=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=-3+3i\\sqrt{3}$ ៖\nតាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-3\\right)^{2}+\\left(3\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. សរសេរចំនួនកុំផ្លិច $z=-2+2i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញបង្ហាញថា $-2\\cos x+2\\sin x=2\\sqrt{2}\\cos\\left(x-\\frac{3\\pi}{4}\\right)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $-2\\cos x+2\\sin x=-\\sqrt{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=-2+2i$ ៖\n$$|z|=r=\\sqrt{\\left... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយសរសេរ $1+i\\sqrt{3}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ដោះស្រាយសមីការ $\\cos x+\\sqrt{3}\\sin x=2$ ក្នុងសំណុំចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=1+i\\sqrt{3}$ ៖\nតាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{1^{2}+\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយសរសេរ $4+4i\\sqrt{3}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ដោះស្រាយសមីការ $4\\cos x+4\\sqrt{3}\\sin x=8$ ក្នុងសំណុំចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=4+4i\\sqrt{3}$ ៖\nតាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{4^{2}+\\left(4\\sqrt{3}\\right)^{2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយសរសេរ $2+2i\\sqrt{3}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ដោះស្រាយសមីការ $2\\cos x+2\\sqrt{3}\\sin x=-2\\sqrt{3}$ ក្នុងសំណុំចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=2+2i\\sqrt{3}$ ៖\n$$|z|=r=\\sqrt{2^{2}+\\left(2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{4+12}=\\sqrt{16}=4$$\nតាង $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. សរសេរចំនួនកុំផ្លិច $z=2+2i\\sqrt{3}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញបង្ហាញថា $2\\cos x+2\\sqrt{3}\\sin x=4\\cos\\left(x-\\frac{\\pi}{3}\\right)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $2\\cos x+2\\sqrt{3}\\sin x=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=2+2i\\sqrt{3}$ ៖\n$$|z|=r=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយសរសេរ $4\\sqrt{3}-4i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ដោះស្រាយសមីការ $4\\sqrt{3}\\cos x-4\\sin x=-4\\sqrt{3}$ ក្នុងសំណុំចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=4\\sqrt{3}-4i$ ៖\nម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(4\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-4\\right)^{2}}=\\sqrt{48... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. សរសេរចំនួនកុំផ្លិច $z=-2\\sqrt{3}-2i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញបង្ហាញថា $-2\\sqrt{3}\\cos x-2\\sin x=4\\cos\\left(x+\\frac{5\\pi}{6}\\right)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $-2\\sqrt{3}\\cos x-2\\sin x=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=-2\\sqrt{3}-2i$ ៖\n$$|... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយសរសេរ $4+4i\\sqrt{3}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ដោះស្រាយសមីការ $4\\cos x+4\\sqrt{3}\\sin x=-4$ ក្នុងសំណុំចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=4+4i\\sqrt{3}$ ៖\n$$|z|=r=\\sqrt{4^{2}+\\left(4\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{16+48}=\\sqrt{64}=8$$\nតាង $\\alpha$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. សរសេរចំនួនកុំផ្លិច $z=2\\sqrt{3}+2i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញបង្ហាញថា $2\\sqrt{3}\\cos x+2\\sin x=4\\cos\\left(x-\\frac{\\pi}{6}\\right)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $2\\sqrt{3}\\cos x+2\\sin x=4$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=2\\sqrt{3}+2i$ ៖\nតាង $z=r... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. សរសេរចំនួនកុំផ្លិច $z=1-i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញបង្ហាញថា $\\cos x-\\sin x=\\sqrt{2}\\cos\\left(x+\\frac{\\pi}{4}\\right)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $\\cos x-\\sin x=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=1-i$ ៖\nតាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. សរសេរចំនួនកុំផ្លិច $z=-2\\sqrt{3}+2i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញបង្ហាញថា $-2\\sqrt{3}\\cos x+2\\sin x=4\\cos\\left(x-\\frac{5\\pi}{6}\\right)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $-2\\sqrt{3}\\cos x+2\\sin x=-2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=-2\\sqrt{3}+2i$ ៖\n$$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយសរសេរ $2+2i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ដោះស្រាយសមីការ $2\\cos x+2\\sin x=-\\sqrt{2}$ ក្នុងសំណុំចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=2+2i$ ៖\n$$|z|=r=\\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\begin... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយសរសេរ $\\sqrt{3}-i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ដោះស្រាយសមីការ $\\sqrt{3}\\cos x-\\sin x=\\sqrt{3}$ ក្នុងសំណុំចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=\\sqrt{3}-i$ ៖\n$$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{3+1}=\\sqrt{4}=2$$\n... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយសរសេរ $1+i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ដោះស្រាយសមីការ $\\cos x+\\sin x=-\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ ក្នុងសំណុំចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=1+i$ ៖\n$$|z|=r=\\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\begin{ali... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយសរសេរ $-\\sqrt{3}+i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ដោះស្រាយសមីការ $-\\sqrt{3}\\cos x+\\sin x=\\sqrt{2}$ ក្នុងសំណុំចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=-\\sqrt{3}+i$ ៖\n$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\sqrt{3}\\right)^{2}+1^{2}}=\\sqrt{3+1}=\\sqrt{4}=2$$\nដាក់ម៉ូឌុលជា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. សរសេរចំនួនកុំផ្លិច $z=2-2i\\sqrt{3}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញបង្ហាញថា $2\\cos x-2\\sqrt{3}\\sin x=4\\cos\\left(x+\\frac{\\pi}{3}\\right)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $2\\cos x-2\\sqrt{3}\\sin x=4$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=2-2i\\sqrt{3}$ ៖\n$$|z|=r=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. សរសេរចំនួនកុំផ្លិច $z=-1+i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញបង្ហាញថា $-\\cos x+\\sin x=\\sqrt{2}\\cos\\left(x-\\frac{3\\pi}{4}\\right)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $-\\cos x+\\sin x=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=-1+i$ ៖\nតាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយសរសេរ $-4+4i\\sqrt{3}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ដោះស្រាយសមីការ $-4\\cos x+4\\sqrt{3}\\sin x=-4\\sqrt{3}$ ក្នុងសំណុំចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=-4+4i\\sqrt{3}$ ៖\nម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-4\\right)^{2}+\\left(4\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=1+i\\sqrt{3}$ និង $z_{2}=1-i\\sqrt{3}$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $1-i\\s... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=\\sqrt{3}+i$ និង $z_{2}=2i$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $\\sqrt{3}-i$ ជាចំ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=1-i$ និង $z_{2}=-i\\sqrt{2}$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $1+i$ ជាចំនួនកុំផ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=\\sqrt{3}-i$ និង $z_{2}=-2i$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $\\sqrt{3}+i$ ជាច... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=\\sqrt{3}+i$ និង $z_{2}=-\\sqrt{3}+3i$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $\\sqrt... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=1-i$ និង $z_{2}=-1-i$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $1+i$ ជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្ល... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=-2\\sqrt{3}+2i$ និង $z_{2}=-4i$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $-2\\sqrt{3}-2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=-\\sqrt{3}-i$ និង $z_{2}=-1+i\\sqrt{3}$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $-\\sq... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=3+3i$ និង $z_{2}=9-9i$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $3-3i$ ជាចំនួនកុំផ្លិចឆ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=1-i\\sqrt{3}$ និង $z_{2}=-3\\sqrt{3}-3i$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $1+i\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=4\\sqrt{3}+4i$ និង $z_{2}=4-4i\\sqrt{3}$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $4\\s... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=2-2i$ និង $z_{2}=-2\\sqrt{2}$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $2+2i$ ជាចំនួនកុ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=3\\sqrt{3}-3i$ និង $z_{2}=-3\\sqrt{3}-3i$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $3\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=3-3i\\sqrt{3}$ និង $z_{2}=9\\sqrt{3}+9i$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $3+3i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=-3+3i$ និង $z_{2}=9+9i$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $-3-3i$ ជាចំនួនកុំផ្លិ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=\\sqrt{3}+i$ និង $z_{2}=\\sqrt{3}-i$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $\\sqrt{3... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=2-2i\\sqrt{3}$ និង $z_{2}=4$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $2+2i\\sqrt{3}$ ជ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=2\\sqrt{3}-2i$ និង $z_{2}=-6-6i\\sqrt{3}$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $2\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=2+2i$ និង $z_{2}=2-2i$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $2-2i$ ជាចំនួនកុំផ្លិចឆ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=-1+i\\sqrt{3}$ និង $z_{2}=-3-i\\sqrt{3}$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $-1-i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=-\\sqrt{3}+i$ និង $z_{2}=2i$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $-\\sqrt{3}-i$ ជា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=-2-2i$ និង $z_{2}=-4+4i$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $-2+2i$ ជាចំនួនកុំផ្ល... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=-2\\sqrt{3}+2i$ និង $z_{2}=-2\\sqrt{3}-6i$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $-2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=-1+i$ និង $z_{2}=-3-3i$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $-1-i$ ជាចំនួនកុំផ្លិច... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=4\\sqrt{3}-4i$ និង $z_{2}=4\\sqrt{3}+4i$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $4\\s... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=-1-i\\sqrt{3}$ និង $z_{2}=-3\\sqrt{3}+3i$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $-1+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=4\\sqrt{3}-4i$ និង $z_{2}=-8i$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $4\\sqrt{3}+4i$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=-\\sqrt{3}+i$ និង $z_{2}=\\sqrt{3}+i$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $-\\sqrt... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=-2\\sqrt{3}+2i$ និង $z_{2}=4i$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $-2\\sqrt{3}-2i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_{1}=\\sqrt{3}+i$ និង $z_{2}=-1+i\\sqrt{3}$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OAB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $\\sqrt... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=\\frac{1}{2}+i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ ។ បង្ហាញថា $z^{6}=1$ រួចគណនា $S=1+z+z^{2}+\\cdots+z^{21}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{1}{4}+\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=i$ ។ បង្ហាញថា $z^{4}=1$ រួចគណនា $S=1+z+z^{2}+\\cdots+z^{10}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{0^{2}+1^{2}}=\\sqrt{0+1}=1$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=0=\\cos\\frac{\\pi}{2},\\quad \\sin\\alpha=1=\\sin\\frac{\\pi}{2}$$\nដ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-\\frac{1}{2}-i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ ។ បង្ហាញថា $z^{3}=1$ រួចគណនា $S=1+z+z^{2}+\\cdots+z^{13}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{1}{4}+\\frac{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=\\frac{\\sqrt{3}}{2}-\\frac{1}{2}i$ ។ បង្ហាញថា $z^{12}=1$ រួចគណនា $S=1+z+z^{2}+\\cdots+z^{20}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}+\\left(-\\frac{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-\\frac{1}{2}+i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ ។ បង្ហាញថា $z^{3}=1$ រួចគណនា $S=1+z+z^{2}+\\cdots+z^{13}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{1}{4}+\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-\\frac{1}{2}-i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ ។ បង្ហាញថា $z^{3}=1$ រួចគណនា $S=1+z+z^{2}+\\cdots+z^{23}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{1}{4}+\\frac{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-i$ ។ បង្ហាញថា $z^{4}=1$ រួចគណនា $S=1+z+z^{2}+\\cdots+z^{27}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{0^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{0+1}=1$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\cos\\alpha&=0=\\cos\\left(-\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-\\frac{1}{2}+i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ ។ បង្ហាញថា $z^{3}=1$ រួចគណនា $S=1+z+z^{2}+\\cdots+z^{8}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{1}{4}+\\frac{3}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=\\frac{\\sqrt{3}}{2}+\\frac{1}{2}i$ ។ បង្ហាញថា $z^{12}=1$ រួចគណនា $S=1+z+z^{2}+\\cdots+z^{17}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{1}{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=\\frac{1}{2}+i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ ។ បង្ហាញថា $z^{6}=1$ រួចគណនា $S=1+z+z^{2}+\\cdots+z^{18}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{1}{4}+\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=\\frac{1}{2}-i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ ។ បង្ហាញថា $z^{6}=1$ រួចគណនា $S=1+z+z^{2}+\\cdots+z^{24}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{1}{4}+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}+\\frac{1}{2}i$ ។ បង្ហាញថា $z^{12}=1$ រួចគណនា $S=1+z+z^{2}+\\cdots+z^{21}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-i$ ។ បង្ហាញថា $z^{4}=1$ រួចគណនា $S=1+z+z^{2}+\\cdots+z^{30}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{0^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{0+1}=1$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=0=\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right),\\quad \\sin\\... | BacII-Math-AI/complex |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.